Matemáticas Financieras Las Matemáticas Financieras como su nombre lo indica es la aplicación de la matemática a las finanzas centrándose en el estudio del Valor del Dinero en el Tiempo, combinando el Capital, la tasa y el Tiempo para obtener un rendimiento o Interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de Inversión. Las Matemáticas Financieras se relacionan con la contabilidad, ya que se apoya en información razonada generada por los registros contables. Las Matemáticas Financieras son una herramienta auxiliar de la ciencia política, ya que la apoya en el estudio y resolución de problemas económicos que tienen que ver con la Sociedad. Las matemáticas financieras auxilian a esta disciplina en la toma de decisiones de Inversión, Presupuesto, ajustes económicos. Las matemáticas financieras son de aplicación eminentemente práctica, su estudio esta íntimamente ligado a la solución de problemas de la vida cotidiana en el área de negocios. Valor Temporal del Dinero El factor tiempo juega un papel decisivo a la hora de fijar el valor de un capital. No es lo mismo disponer de 1 millón de pesos hoy que dentro de un año, ya que el dinero se va depreciando como consecuencia de la inflación. Por lo tanto, 1 millón de pesos en el momento actual será equivalente a 1 millón de pesos más una cantidad adicional dentro de un año. Esta cantidad adicional es la que compensa la perdida de valor que sufre el dinero durante ese periodo. Hay dos reglas básicas en matemáticas financieras: Ante dos capitales de igual cuantía en distintos momentos, se preferirá aquél que sea más cercano Ante dos capitales en el mismo momento pero de distinto importe, se preferirá aquel de importe más elevado Para poder comparar dos capitales en distintos instantes, hay que hallar el equivalente de los mismos en un mimo momento, y para ello utilizaremos las formulas de matemática financiera. Ejemplo: ¿Qué es preferible disponer de 2 millones de pesos dentro de 1 año o de 4 millones dentro de 5 años?. Para contestar a esta pregunta hay que calcular equivalentes de ambos importes en un mismo instante. Así, por ejemplo, si aplicando las leyes financiera resulta que el primer importe equivale a 1,5 millones en el momento actual, y el segundo equivale a 1,4 millones, veremos que es preferible elegir la primera opción. Hemos calculado los importes equivalentes en el momento actual, pero podríamos haber elegido cualquier otro instante (dentro de 1 año, dentro de 5 años, etc.), y la elección habría sido la misma. Las leyes financieras que nos permiten calcular el equivalente de un capital en un momento posterior, se llaman Leyes de Capitalización, mientras que aquellas que nos permiten calcular el equivalente de un capital en un momento anterior, se denominan Leyes de Descuento. Estas leyes financieras nos permite también sumar o restar capitales en distintos momentos. Ejemplo: Si vamos a recibir 1 millón de pesos dentro de 6 meses y 2 millones dentro de 9 meses, no los podemos sumar directamente, sino que tendremos que hallar sus equivalente en un mismo instante (el momento actual, dentro de 6 meses, 9 meses, etc) y entonces si se podrán sumar. INTERÉS SIMPLE Se llama interés simple a la operación financiera donde interviene un capital, un tiempo predeterminado de pago y una tasa o razón, para obtener un cierto beneficio económico llamado interés. El interés simple es un tipo de interés que siempre se calcula sobre el capital inicial sin la capitalización de los intereses, de suerte que los intereses generados no se incluyen en el cálculo futuro de los intereses, permaneciendo el capital fijo. El interés simple, por no capitalizar intereses resulta siempre menor al interés compuesto, puesto que la base para su cálculo permanece constante en el tiempo, a diferencia del interés compuesto. El interés simple es de poco u nulo uso en el sector financiero formal, pues este opera bajo el interés compuesto. El interés simple es utilizado por el sistema financiero informal, por los prestamistas particulares y prenderías El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base. Interés simple, es también la ganancia sólo del Capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial. La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (períodos menores de 1 año). Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que éstos son cobrados o pagados. El interés simple, NO capitaliza. Interés Compuesto El interés compuesto es fundamental para entender las matemáticas financieras. Con la aplicación del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la capitalización del dinero en el tiempo. Calculamos el monto del interés sobre la base inicial más todos los intereses acumulados en períodos anteriores; es decir, los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a convertirse en nuevo capital. Llamamos monto de capital a interés compuesto o monto compuesto a la suma del capital inicial con sus intereses. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el interés compuesto. El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe el nombre de período de capitalización. La frecuencia de capitalización es el número de veces por año en que el interés pasa a convertirse en capital, por acumulación. Tres conceptos son importantes cuando tratamos con interés compuesto: 1. El capital original (P o VA) 2. La tasa de interés por período (i) 3. El número de períodos de conversión durante el plazo que dura la transacción (n). TALLER DE MATEMATICA FINANCIERA 1. Se efectúa un depósito a término de $500.000, por 6 meses en el Bancolombia que reconoce una tasa de interés del 2% trimestral, con retiro de intereses cada trimestre, Que interés se recibe? 2. La sección de ahorros de un banco liquida intereses a sus clientes sobre saldos trimestrales que ellos retiran y reconoce una tasa del 2.25%. Un ahorrador recibió de $60.000 de interés en cada trimestre, qué suma depósito? 3. Colombina S. A. emitió bonos en 2002, con una tasa de interés del 12% anual y pago mensual de los intereses. Se compró un bono de $5.000.000 y obtuvo $5.750.000 por concepto de interés en todo el plazo que mantuvo en su poder el bono, cuál fue el periodo de redención en años del bono? 4. Si le otorgan un sobregiro por $7.500.000 por 8 días y la tasa de interés es del 26%, cuanto tiene que pagar de intereses?. Si el Gerente asegura que el sobregiro costo $44.000 a como le está cobrando el sobregiro? 5. Si se invierten hoy $650.000 cuál será su monto final al cabo de 90 días, suponiendo una tasa del 13%? 6. Calcular el valor futuro de $800.000 en 4 meses con una tasa del 20%. 7. Un pagare que tiene que pagarse al vencimiento por $9.000.000, cual será su valor presente 60 dias antes de su vencimiento, suponiendo que fue pactado a una tasa del 28%, 8. Usted presta a un amigo $125.000 al 3% mensual por mes y medio. Qué interés pagará? 9. Si en el caso anterior la tasa fuera del 2% mensual al cabo de 6 meses, cuanto le debería devolver su amigo? 10. Si usted retira de su cuenta de ahorros $600.000 que le rentaban al 1,5% mensual habiendo ahorrado a interés simple durante 10 meses, con cuánto dinero había abierto su cuenta de ahorros? 11. Calcular el interés que generan $500.000 durante 4 meses a un tipo de interés anual del 10%. 12. Calcular el capital final que tendríamos si invertimos $1.000.000 durante 6 meses al 12%. 13. Recibimos $500.000 dentro de 6 meses y $800.000 dentro de 9 meses, y ambas cantidades las invertimos a un tipo del 15%. Calcular que importe tendríamos dentro de 1 año. 14. ¿ Qué es preferible recibir $500.000, dentro de 3 meses, $400.000 dentro de 6 meses, o $600.000 dentro de 1 año, si estos importe se pueden invertir al 12% ? 15. Si colocamos nuestros ahorros de $10.000.000 en un banco donde al cabo de 30 días nos devolverán $10.500.000. ¿Cuál es el porcentaje de rendimiento obtenido? 16. La auarta parte de un capital se ha colocado al 4.5% de interés anual durante 30 días, la mitad del resto se ha colocado al 4% durante 90 días, y la otra mitad al 5,5% durante 45 días, determine el capital invertido si los interés totales son $2.543.000? 17. Se adquiere una maquinaria por $ 5 millones, dando al momento de la compra un 40% de inicial, financiando el resto durante 7 trimestres. De esta forma, terminan pagándose $1.155.000 de intereses. ¿Qué tasa anual le fue aplicada? ¿Cuánto pagó en total por la maquinaria?. 18. ¿ Cuál fue nuestra inversión inicial, si hemos obtenido utilidades de $3.000.000, después de 8 meses, a interés simple y con el 4,8% de tasa anual? 19. El día de hoy obtenemos un préstamo por $5,000,000 y después de un año pagamos 5,900,000. Determinar el interés y la tasa de interés 20. Calcular el interés simple ordinario o comercial y exacto de un préstamo por $ 6.000.000 con una tasa de interés del 15% durante un año. TALLER DE MATEMATICA FINANCIERA - INTERES COMPUESTO 1. Se requieren $18.950.000 para viajar a Europa dentro de un año, si se tienen $16.769.912 a que tasa de interés anual se debe colocar este dinero para alcanzar la suma requerida? 2. Cuál será el valor Futuro de $1.800.000, en 3 años, a una tasa de interés del 24%, si el interés se capitaliza una vez por año? 3. Cuál es el valor futuro de $1.500.000 depositados en una entidad financiera durante 5 años, a una tasa del 9% anual capitalizable mensualmente? 4. Cuanto se debe depositar hoy en una entidad financiera que reconoce el 7% anual M.V. si al cabo de un año se quiere tener $1 5. Se compró una finca por $600.000.000 y a los dos años fue vendida por $988.000.000, cual fue la tasa de valorización mensual? 6. Las cuentas de ahorro reconocen una tasa del 8% capitalizable trimestralmente. Si un ahorrador quiere acumular $3.000.000 y cuenta en la actualidad con $2.100.400 durante cuantos trimestres deberá dejar depositada esta suma? 7. Si la UVR tenía un valor de 190.5844 el viernes 1º de septiembre de 2010, cuál será el valor del UVR el 20 de noviembre de 2010 y el 24 de diciembre de 2010, si la tasa de corrección monetaria es del 0,00705556% diario. 8. Una empresa que cuenta con excesos de tesorería por $35.000.000 decide colocarlos a término fijo, por un año, en Corficolombiana a una tasa del 9% anual T. V. El mismo día un imprevisto obliga al tesorero a vender el CDT con un descuento a un comisionista que cobra el 11% anual T.V. ¿Cuánto dinero recibe la empresa por su CDT? 9. Se depositan $100.000 en un banco que reconoce el 16% anual S. V. ¿Qué suma de dinero se retira al cabo de 2 años? 10. Que cantidad de dinero se debe depositar hoy para que a una tasa del 2.3% mensual pueda cancelarse una obligación bancaria de $15.000.000 dentro de un año. 11. Si usted quisiera duplicar su capital en 2 años que rentabilidad tendría que obtener? 12. Al iniciar los meses de julio y septiembre me propongo ahorrar $250.000 y $310.000 respectivamente y deseo consignarlo en un banco que me reconoce el 1.2% mensual. ¿Cuánto dinero puedo disponer al 1 de noviembre? 13. Dentro de año y medio se desea cambiar la maquina empacadora por una de mayor capacidad. En esa fecha se estima que la maquina usada se podrá vender en $12.5 millones y la de mayor capacidad estará costando $17.750.000, ¿Cuánto capital debo consignar hoy en una entidad financiera que paga el 6.5% anual, si deseo adquirir la nueva máquina? 14. Se prestan $500.000 a una tasa del 2.3% mensual por 8 meses, ¿Cuánto le debería devolver incluyendo el capital y el rendimiento a interés compuesto? 15. Se tiene un CDT del Bancolombia a interés compuesto y al retirar el dinero entregaron un cheque de $11.900.000 después de año y medio en que se había constituido a una tasa del 10% anual con intereses M.V. anual compuesto. Si en el caso del CDT anterior recibe un cheque por $12.000.000 producto de su depósito habiendo invertido $10.248.793, a que tasa de interés anual compuesto pagaron? 16. Por la venta de una casa se reciben $108 millones sabiendo que se había comprado en $72 millones y que de acuerdo con la información sobre la valorización de la construcción, esta ascendió al 1,09% mensual en promedio en los últimos años, durante cuánto tiempo se poseyó la casa? 17. Una persona invierte $6.000.000 en un depósito a término fijo de 6 meses. Si le garantizan una tasa el 12% anual T.V. hallar el valor final del CDT. 18. Un proyecto exige la inversión inicial de $40 millones y promete devolver $80 millones en 50 meses. Calcular la rentabilidad mensual que genera el proyecto? 19. Un deudor tiene un pagare con un banco por $7 millones, después de 12 meses de vencido el pagare, el deudor y el banco acuerdan que el pagare puede ser cancelado con $9 millones. Hallar la tasa anual TV con la cual se hizo esta operación? 20. A un inversionista le presentan tres proyectos, donde puede invertir su dinero: A. Una entidad financiera ofrece duplicar su dinero invertido en 4 años y 2 meses. B. Una empresa comercializadora de computadores ofrece por cada $1.500.000 invertidos devolverá $1.724.000 en 10 meses. C. Otro banco ofrece pagar el 17.6% anual M.V. en un CDT. ¿Qué proyecto recomendaría usted? 21. Una maquina llegara al final de su vida útil dentro de dos años y para esa época una nueva máquina que se adquiera costara $800 millones, además que en ese momento la maquina usada podrá ser recibida en parte de pago de la nueva por $450 millones. Que deposito se debería hacer hoy en una entidad financiera que reconoce el 135 anual T.V. para poder hacer la compra en el momento requerido? 22. Si usted tenia que cancelar la suma de $2.236.500 por concepto de impuestos el dia 18 de abril y solamente puede hacerlo el 23 de julio del mismo año, que suma debería pagar, sabiendo que la tasa de interés de mora es del 21% anual? 23. Un pagare por $3.500.000 a un año con una tasa de interés del 12% anual M.V. lo compro un inversionista hace dos meses por $3.850.000. Alguna de las personas que intervino en la operación tuvo perdidas el dia de la compra del pagare? Si es afirmativa la respuesta de cuanto fue esas perdidas y a quien correspondio? 24. Usted debe cancelar una deuda mediante tres pagos, asi: $1.580.000 dentro de 3 meses, $3.200.000 dentro de 8 meses y $2.800.000 dentro de un año, con una tasa del 2.5% mensual. El acreedor acepta que la deuda hoy se le cancele con un único pago dentro de 15 meses y con una tasa de interés del 30% anual T.V. Hallar el valor de este único pago? 25. Un inversionista dispone de $25 millones para invertir por un año y tiene dos alternativas: A. Entidad financiera le pagan al 12% anual T.V. pero le retienen el 4 por mil al final del año sobre el valor acumulado en ese momento. B. colocar el dinero en una cuenta de ahorros que le paga un interés del 11,8% anual neto. Cual cree es mejor alternativa para el inversionista?